[2016년 백석고]

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[2학년 1학기 중간 미적분1]

극한 [eqn: lim_n->inf ( root{n^2 +2n} - n)]의 값은? [4.0점]

②

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: f(x) =(3x+2 )(x^2 -x +1 )]에 대하여 [eqn: f `'(1)]의 값은? [4.0점]

②

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim_x->1+ f(x-1) +lim_x->1- f(x)g(1-x)]의 값은? [4.0점]

④

① [eqn: 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: -2]

함수 [eqn: f(x) =3x^2 -2x +4]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: [-2,```1]]에서 평균값의 정리를 만적하는 [eqn: x]의 값을 [eqn: c]라 할 때, 실수 [eqn: c]의 값은? [4.0점]

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2over3]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: - 1over3]	⑤ [eqn: - 1over2]

수렴하는 급수만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.0점]

②

ㄱ. [eqn: sum_n=1^inf {3rootn}over{rootn+1 +rootn }]

ㄴ. [eqn: sum_n=1^inf (2^n+1 -1)left( 1over3 right)^n-1]

ㄷ. [eqn: 1- 1over2 + 1over2 - 2over3 + 2over3 - 3over4 + 3over4 ``- 4over5 `+ cdots]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열에 대한 참인 명제만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.0점]

①

ㄱ. 수열 [eqn: left{a_n right}]이 수렴하면 수열 [eqn: left{ a_n overn right}]은 수렴한다.

ㄴ. 수열 [eqn: left{a_n right}]이 수렴하면 수열 [eqn: left{ 1 overa_n right}]은 수렴한다.

(단, [eqn: a_n != 0])

ㄷ. 수열 [eqn: left{a_n right}]이 발산하면 수열 [eqn: left{c` a_n right}]은 발산한다.

(단, [eqn: c]는 상수이다.)

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)]가 구간 [eqn: [-3 ,```inf )]에서 연속이고,
[eqn: (x-1)f(x) =x^2 -x-2 +rootx+3]
를 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은? [4.4점]

④

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: 7 over6]

④ [eqn: 5 over4]	⑤ [eqn: 13over6]

함수 [eqn: f(x) =cases{3x^2 &```(x le 2) #ax+b &```(x>2 )]가 [eqn: x=2]에서 미분가능하도록 하는 실수 [eqn: a,``b]의 합 [eqn: a+b]의 값은? [4.4점]

③

① [eqn: -6]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 6]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x_0 =0], [eqn: x_1 = 1overn], [eqn: x_2 = 2overn], [eqn: cdots], [eqn: x_n = { n} over { n}]이라 하자. [eqn: f(x) = x^2 +1]에 대하여 세 점 [eqn: (x_0 ,```0 )], [eqn: (x_k ,```0)], [eqn: (x_k ,```f(x_k ))]를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 [eqn: A_k (k=1,```2,```3,```cdots ,``` n)]라 할 때, [eqn: S_n = sum_k=1 ^n A_k]이다. 극한 [eqn: lim_n->inf S_n overn]의 값은? [4.4점]

③

① [eqn: 1over8]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: 3over8]

④ [eqn: 3over4]	⑤ [eqn: 1over2]

함수 [eqn: f(x) =|x-1|]에 대하여 극한 [eqn: lim _{n -> INF } {} `n LEFT { f LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) `-f LEFT ( 1- {1} over {n} RIGHT ) RIGHT }]의 값은? (단, [eqn: n]은 자연수이다.) [4.4점]

①

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 선분을 사용하여 둘레의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형을 만든다. 이 정사각형 [eqn: 1]개 있는 경우를 [1단계]라 하자. 그림과 같이 [2단계]는 [1단계]에 있는 사각형에 [eqn: 2]개의 정사각형을 이어 붙여 만들고 [3단계]에는 [2단계]에서 생긴 모양에 [eqn: 3]개의 정사각형을 이어 붙여 만든다.

								[eqn: cdots]

이렇게 만든 모양에 대하여 [[eqn: n]단계]에서 사용된 길이가 [eqn: 1]인 모든 선분의 개수를 [eqn: a_n], [[eqn: n]단계]에서 생긴 모양의 외부 둘레의 길이를 [eqn: b_n]이라 하자. 예를 들어 [1단계] [eqn: a_1 =4], [eqn: b_1 =4], [2단계] [eqn: a_2 =10], [eqn: b_2 =8]이고 [3단계] [eqn: a_3 =18], [eqn: b_3 =12]이다. 이때, 극한 [eqn: lim_n->inf { sum_k=1^n b_k } overa_n]의 값은? [4.7점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

원점을 지나는 연속함수 [eqn: f(x)]가 닫힌 구간 [eqn: [n,```n+1 ]]에서 평균변화율이 [eqn: left( 1over2 right) ^n]이라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: n]은 정수이다.) [4.7점]

③

ㄱ. [eqn: f(1) - f(0) =1]

ㄴ. 닫힌 구간 [eqn: [0,```10]]에서 함수 [eqn: f]의 평균변화율은

[eqn: 2047 over1024]이다.

ㄷ. [eqn: lim_n->inf f(n) =2]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=x ^{2}], [eqn: y= x^2 -6x]에 동시에 접하는 직선의 방정식을 [eqn: y=mx +n]이라 할 때, 두 실수 [eqn: m], [eqn: n]의 곱 [eqn: mn]의 값은? [4.7점]

⑤

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 16 over27]	③ 2

④ [eqn: 8 over3]	⑤ [eqn: 27 over4]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형의 각 꼭짓점을 중심으로 하여 정사각형의 각 변의 중점을 지나는 사분원을 [eqn: 4]개 그린다. 각 사분원의 호를 이등분하는 점 [eqn: 4]개를 꼭짓점으로 하는 정사각형을 그리고, 위와 같은 방법으로 사분원을 [eqn: 4]개 그린다.

이와 같은 과정을 한없이 반복할 때, 색칠한 부분의 넓이의 합은? [4.7점]

⑤

① [eqn: root2 over2 pi]	② [eqn: {pi(root2 +1 )} over2]	③ [eqn: {pi (root2 +1)} over3]

④ [eqn: {pi (2root2 +1 )}over7]	⑤ [eqn: {2pi (2root2 +1) } over7]

그림과 같이 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rmA(4,```0)], [eqn: y]축 위의 점 [eqn: rmB(0,```3)]가 있다. 점 [eqn: rmP]는 [eqn: x]축을 따라 점 [eqn: rmA]의 왼쪽에서 점 [eqn: rmA]로, 점 [eqn: rmQ]는 [eqn: y]축을 따라 점 [eqn: rmB]의 위쪽에서 점 [eqn: rmB]로 한없이 가까워진다.

[eqn: rm bar{PQ}]가 [eqn: rm bar{AP} = bar{BQ}]를 만족하면서 움직일 때, [eqn: bar{rmAB}], [eqn: bar{rmPQ}]의 교점 [eqn: rmR]이 한없이 가까워지는 점의 좌표를 [eqn: (a,```b)]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은? [4.9점]

④

① [eqn: 22 over7]	② [eqn: 23over7]	③ [eqn: 24 over7]

④ [eqn: 25 over7]	⑤ [eqn: 26 over7]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x) = f(x) overx(x-2) ```(x!=0`,```x!= 2 )]
으로 정의할 때, 함수 [eqn: g(x)]는 두 조건을 만족시킨다.

상수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 4k]의 값은? [4.9점]

(가) [eqn: lim_x->inf left{ g(x) -2x right} = -3]

(나) [eqn: lim_x->2 g(x) overx-2 =k]

①

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

함수 [eqn: f(x) = x^2 -12x +a]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x) = cases{ 3x +7a &```(x ge a)#f(x+6) &```(x<a)]
라 할 때, 함수 [eqn: f(x) g(x)]가 [eqn: x=a]에서 연속이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은? [4.9점]

③

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 26]

구간 [eqn: (- inf ,```inf )]에서 정의된 함수
[eqn: f(x) =cases{ 1 &```(|`x`| ge 1 `)# x^2 -2 &```(|`x`| <1 )]
에 대하여 함수 [eqn: f(x+t)f(x-t)]의 불연속점의 개수를 [eqn: g(t)]라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: t]는 실수이다.) [4.9점]

①

ㄱ. [eqn: g(-1) =3]

ㄴ. 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: g(t ) >0]

ㄷ. [eqn: t>1]일 때, [eqn: g(t) =5]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

서술형

방정식 [eqn: 3x^2 - 1overx+2 =0]은 [eqn: 0] 과 [eqn: 1]사이에 적어도 하나의 실근을 가짐을 서술하시오. [6.0점]

사잇값의 정리

수열 [eqn: left{a_n right}]은 두 조건을 만족한다.

급수 [eqn: sum_n=1^ inf a_n]의 합을 구하는 과정과 답을 서술하시오. [6.0점]

(가) [eqn: a_n `!=0]

(나) [eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: a_n x^2 +a_n x +2]를 [eqn: x-n]으로 나눈 나머지는 [eqn: 3]이다.

[eqn: 1]

실수 [eqn: x>0]와 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: [logx]-(n+1) LEFT { logx-[logx] RIGHT } =n]
을 만족하는 모든 실수 [eqn: x]의 값의 곱을 [eqn: a_n]이라 할 때, 극한
[eqn: lim_n->inf {10 log a_n } over{n^2 +1 }]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오.
(단, [eqn: [`x`]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [8.0점]

[eqn: 15]

[2016년 백석고]

[2학년 1학기 중간 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com